Théorie des schémas

Théorie des schémas
Name	Théorie des schémas
Field	Algebraic geometry, Number theory
Introduced	Alexander Grothendieck
Institutions	Institut des Hautes Études Scientifiques, École Normale Supérieure, University of Montpellier
Notable	Jean-Pierre Serre, Grothendieck

Théorie des schémas

La théorie des schémas est un cadre formel développé pour généraliser les variétés algébriques et pour unir des approches en Algebraic geometry, Number theory et Homological algebra. Initiée au milieu du XXe siècle, elle remplace les variétés classiques par des objets locaux munis d'un faisceau d'anneaux, permettant des connexions avec les théories de Galois, Weil, Étale cohomology et les travaux de mathématiciens comme Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Pierre Deligne et Grothendieck–Serre. La théorie a des ramifications dans les travaux de David Mumford, Alexander Grothendieck au sein de l'Institut des Hautes Études Scientifiques et influence les constructions utilisées par Andrew Wiles et Pierre Deligne.

Définition et concepts fondamentaux

Un schéma est construit à partir de spectres d'anneaux commutatifs tels que le spectre de l'anneau des entiers considérés par Carl Friedrich Gauss en arithmétique, le spectre d'un anneau de polynômes vus par Évariste Galois et le spectre d'anneaux locaux étudiés par David Hilbert. Le concept central est le foncteur Spec qui associe à un anneau commutatif son spectrum muni d'un faisceau d'anneaux; cette construction relie les travaux de Alexander Grothendieck aux notions antérieures de variétés de Bernhard Riemann, André Weil et Oscar Zariski. Les notions de morphisme de schémas, de recouvrement ouvert, de faisceau quasi-cohérent et de faisceau cohérent reprennent et généralisent des concepts employés par Kunihiko Kodaira et Jean Leray. Les propriétés locales (intégralité, normalité, régularité) se définissent via les anneaux locaux en rapport avec les critères introduits par Oscar Zariski et approfondis par Jean-Pierre Serre.

Histoire et développement

La formalisation des schémas est attribuée principalement à Alexander Grothendieck dans les années 1950 et 1960, dans le contexte des séminaires de Séminaire Bourbaki et des écrits publiés au sein de l'Institut des Hautes Études Scientifiques et de l'École Normale Supérieure. Les contributions décisives de Jean-Pierre Serre, Pierre Deligne, Alexander Grothendieck et A. Grothendieck ont transformé les approches employées par André Weil, Emmy Noether, Oscar Zariski et David Hilbert. Les développements suivants, tels que la cohomologie étale, la cohomologie de de Rham, et la théorie des faisceaux ont été influencés par les travaux de Pierre Deligne, Grothendieck et Armand Borel. Le cadre des schémas a permis des percées majeures: la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne, les avancées en théorie arithmétique exploitées par Andrew Wiles dans la démonstration du théorème de Taniyama–Shimura–Weil et l'utilisation de schémas dans les travaux contemporains de Bhargava, Faltings et Mikhail Kapranov.

Structures et opérations importantes

Les opérations fondamentales sur les schémas incluent le produit fibré, la normalisation, la complétion, et les opérations cohomologiques inspirées par Alexander Grothendieck et Jean-Pierre Serre. Le produit fibré relie les idées de Grothendieck aux notions de fibre vues dans la théorie des fibrés étudiée par Hermann Weyl et Michael Atiyah. Les morphismes plats, finis, étales et séparés sont des classifications essentielles héritées des travaux de Oscar Zariski et affinées par Grothendieck; les propriétés de Cohen–Macaulay, Gorenstein et régulières sont étudiées à travers les anneaux locaux selon les approches de Irving Kaplansky et Maurice Auslander. Les foncteurs dérivés, la cohomologie étale et la théorie des faisceaux perverse relient la théorie des schémas aux outils développés par Pierre Deligne, Jean Leray et Alexander Grothendieck; ces structures sont utilisées dans l'étude des représentations galoisiennes et des motifs abordés par Jean-Pierre Serre et Pierre Deligne.

Applications en géométrie et arithmétique

Les schémas fournissent un langage unificateur pour traiter les problèmes en géométrie algébrique sur des corps finis, des corps locaux et des anneaux entiers. Ils sont instrumentaux dans l'étude des courbes modulaires liées aux travaux de Yutaka Taniyama, Goro Shimura et Andrew Wiles, dans la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne et dans les généralisations arithmétiques examinées par Gerd Faltings et Jean-Marc Fontaine. Les schémas servent aussi de fondement aux développements de la théorie des modèles arithmétiques explorée par Alexandre Grothendieck et utilisée dans les approches de Bourbaki et Grothendieck pour l'étude des familles de variétés, des réductions modulo p et des correspondances de Hecke considérées par Hecke et Erich Hecke.

Théorèmes et résultats clés

Plusieurs résultats fondamentaux en théorie des schémas ont été établis par des figures telles que Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre, Pierre Deligne, Gerd Faltings et David Mumford. Parmi eux: le critère de platitude de Alexander Grothendieck, le théorème de dualité de Jean-Pierre Serre, les théorèmes de représentabilité des foncteurs modulaires développés par David Mumford et Alexander Grothendieck, et la démonstration des conjectures de Weil par Pierre Deligne. D'autres contributions majeures incluent le théorème de finitude de la cohomologie étale, les résultats de Gerd Faltings sur les points rationnels des courbes de genre au moins deux, et les structures de déformation étudiées par Michael Artin et Alexander Grothendieck.

Exemples et cas particuliers

Les exemples canoniques comprennent le spectre de l'anneau des entiers Z utilisé en arithmétique étendue par Carl Friedrich Gauss et Bernhard Riemann, les schémas affines Spec(A) construits à partir d'anneaux noethériens étudiés par Oscar Zariski et Emmy Noether, et les schémas projectifs associés aux variétés de type projectif examinées par David Mumford et Kunihiko Kodaira. Des cas particuliers importants sont les schémas réguliers étudiés par Jean-Pierre Serre, les schémas plats sur une base locale considérés par Alexander Grothendieck, et les courbes modulaires et surfaces de Shimura liées aux travaux de Goro Shimura et Yutaka Taniyama, qui jouent un rôle central dans la démonstration du théorème de Taniyama–Shimura–Weil et dans les applications de Andrew Wiles à la conjecture de Fermat.

Category:Algebraic geometry