Théorie des catégories supérieures

Théorie des catégories supérieures
Name	Théorie des catégories supérieures
Field	Mathématiques
Originated	20e–21e siècle
Key people	Jean Bénabou, Alexander Grothendieck, André Joyal, William Thurston, Jacob Lurie

Théorie des catégories supérieures La théorie des catégories supérieures est une généralisation des idées de théorie des catégories développée pour traiter des structures où les morphismes ont eux-mêmes des morphismes, avec des applications dans des cadres liés à topologie algébrique, géométrie algébrique et physique mathématique. Des figures comme Alexander Grothendieck, Jean Bénabou, André Joyal et Jacob Lurie ont joué des rôles clés dans la formalisation et l'expansion du sujet, influençant des institutions comme le Institute for Advanced Study et l'IHÉS. Les développements contemporains relient ces idées à des problèmes abordés par des congrès tels que le International Congress of Mathematicians et des publications éditées par des maisons comme Springer Science+Business Media et American Mathematical Society.

Introduction

La discipline s'inscrit dans la lignée des travaux de Grothendieck sur les topos et les foncteurs, et a été stimulée par des contributions de Eilenberg–MacLane, Saunders Mac Lane, et Daniel Quillen; elle vise à formaliser des objets étudiés par William Thurston en topologie et par Maxwell Rosenlicht en géométrie algébrique. Les approches principales incluent les cadres développés par André Joyal et Ross Street, puis systématisés par Jacob Lurie dans son oeuvre influencée par des séminaires dirigés à Harvard University et par des recherches au MIT. Les applications touchent des théories proposées par Edward Witten et des constructions utilisées par Pierre Deligne et Michael Artin.

Définitions et modèles

Les définitions fondamentales s'appuient sur des outils introduits par Jean Bénabou et formalisées par André Joyal: les n-catégories faibles, les (∞,1)-catégories et les modèles de « quasicatégories » étudiés par Joyal et popularisés par Lurie. D'autres modèles incluent les catégories enrichies développées par George Kelly, les catégories de Segal associées à des travaux de Graeme Segal, et les modèles de ensembles simpliciaux étudiés par Daniel Kan et André Joyal. Les comparaisons entre modèles mobilisent des techniques issues des travaux de Daniel Quillen sur les catégories de modèles et des contributions de Mark Hovey et Cisinski.

Constructions et opérations fondamentales

Les opérations de limites, colimites et complétions ∞-catégoriques renvoient aux constructions formalisées par Grothendieck et étendues par Lurie; les foncteurs dérivés et les adjoints supérieurs s'appuient conceptuellement sur les théories initiées par Alexander Grothendieck, Jean-Pierre Serre et Pierre Deligne. Les notions de produit fibré, fibration de Grothendieck et fibrations de modèles font intervenir des techniques développées par Grothendieck, Quillen et André Joyal, tandis que les stabilisations et catégories spectraux relient les travaux de Frank Adams et J. Michael Boardman. Les formules de calculs cohomologiques mobilisent des constructions inspirées par Jean-Louis Loday et Benoît Fresse.

Applications en géométrie et topologie

En topologie algébrique, les (∞,1)-catégories offrent un cadre pour la théorie des champs topologiques explorée par Edward Witten et pour la classification des structures étudiées par William Thurston; elles permettent d'aborder des questions traitées par John Milnor et René Thom. En géométrie algébrique, les approches ∞-catégoriques ont été intégrées dans les travaux sur les champs algébriques de Alexander Grothendieck, les faisceaux étales étudiés par Jean-Pierre Serre, et les développements de la cohomologie étale par Pierre Deligne et Michel Raynaud. Des ponts vers la physique mathématique relient ces constructions aux recherches de Maxim Kontsevich, Alexander Beilinson et Edward Witten sur les correspondances de type miroir et les théories de jauge.

Relations avec d'autres domaines des mathématiques

Les interactions concernent l'algèbre homologique traitée par Henri Cartan et Samuel Eilenberg, la théorie des représentations explorée par Jean-Pierre Serre et George Lusztig, et les aspects analytiques abordés par L. C. Evans dans d'autres contextes. Les liens avec la théorie des motifs mobilisent des idées de Alexander Beilinson et Vladimir Voevodsky, tandis que les connexions computables aux modèles formels sont examinées par des chercheurs affiliés à des centres tels que le CNRS et le Clay Mathematics Institute. Des collaborations interdisciplinaires incluent des échanges entre les équipes de IHÉS, Max Planck Institute for Mathematics, et des laboratoires du Simons Foundation.

Histoire et développements contemporains

L'histoire commence avec des idées esquissées par Alexander Grothendieck et des formalismes initiaux de Jean Bénabou; elle progresse avec les cadres techniques de André Joyal, les catégories de modèles de Daniel Quillen et les synthèses monumentales de Jacob Lurie. Les développements récents incluent des programmes de recherche soutenus par le European Research Council, des colloques tenus au MSRI et des projets collaboratifs impliquant le Institute for Advanced Study et le Simons Center for Geometry and Physics. Les publications récentes apparaissent dans des revues affiliées à American Mathematical Society et des collections éditées par Springer, et la recherche continue d'évoluer sous l'effet d'interactions entre groupes de travail de Harvard University, Princeton University et University of Cambridge.

Category:Mathématiques