Numerische Mathematik

Numerische Mathematik
Name	Numerische Mathematik
Focus	Numerische Analyse, Algorithmen, Approximation

Numerische Mathematik is das Teilgebiet der Mathematik, das algorithmische Verfahren zur näherungsweisen Lösung mathematischer Probleme entwickelt und analysiert. Es verbindet theoretische Ergebnisse aus der Analysis, Algebra und Funktionalanalysis mit praktischen Algorithmen für Rechenmaschinen und Hochleistungsrechner. Historisch und praktisch ist es eng vernetzt mit Institutionen, Preisen und Projekten, die numerische Methoden in Wissenschaft und Technik fördern.

Geschichte

Die Entwicklung moderner numerischer Methoden ist verwoben mit Persönlichkeiten und Institutionen wie Carl Friedrich Gauß, Isaac Newton, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, David Hilbert und John von Neumann, sowie mit Forschungszentren wie dem Institute for Advanced Study, dem Los Alamos National Laboratory und dem CERN. Wichtige Meilensteine umfassen die Einführung von Interpolations- und Quadraturverfahren durch Adrien-Marie Legendre und Joseph Fourier, die Entwicklung der linearen Algebra durch Arthur Cayley und James Joseph Sylvester und die algorithmische Revolution durch Alan Turing, John Backus und Donald Knuth. Institutionelle und finanzielle Förderung durch Organisationen wie die National Science Foundation, die Deutsche Forschungsgemeinschaft und die European Research Council beschleunigte die Entwicklung numerischer Softwarepakete und Standards.

Grundlagen und Konzepte

Kernbegriffe wie Interpolation, Approximation, Konvergenz, Stabilität und Kondition sind aus der Theorie von Bernhard Riemann, Augustin-Louis Cauchy, Carl Gustav Jacobi und Sofia Kovalevskaya entstanden und wurden durch Arbeiten von Marston Morse, Ernest Rutherford und John Nash in Anwendungen validiert. Mathematische Werkzeuge stammen aus der Funktionalanalysis von Stefan Banach, der Maße und Integration von Henri Lebesgue sowie der Theorie partieller Differentialgleichungen von Sergio Agmon und Richard Courant. Algorithmische Aspekte sind von Beiträgen durch Stephen Smale, Shannon und Claude Shannon geprägt, während numerische Stabilität und Fehlerfortpflanzung durch Arbeiten von Wilkinson und Turing formalisiert wurden.

Numerische lineare Algebra

Die numerische lineare Algebra umfasst Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Eigenwertproblemen und Singulärwertzerlegung mit zentralen Beiträgen von John von Neumann, Eugene Wigner, James H. Wilkinson, Lloyd N. Trefethen und Gerald Strang. Matrixzerlegungen wie LU, QR und Cholesky wurden in Verbindung mit Anwendungen in Massachusetts Institute of Technology, Stanford University und University of Cambridge weiterentwickelt. Algorithmen zur Iteration und Präconditioning sind durch Forscher wie Youcef Saad, Henk A. van der Vorst und M. Benzi geprägt worden und werden in HPC-Umgebungen von Supercomputern wie Summit (Supercomputer) und Fugaku eingesetzt.

Numerische Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen

Diskretisierungsverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs) bauen auf Arbeiten von Carl Runge, Wilhelm Kutta, Ruth Moufang und Richard Courant sowie auf modernen Forschern wie Howard C. Elman und Eitan Tadmor. Finite-Differenzen-, finite-Elemente- und finite-Volumen-Methoden wurden maßgeblich in Institutionen wie der ETH Zürich, der Université Paris-Saclay und der Princeton University ausgeprägt. Multiskalen- und Mehrgitterverfahren haben Wurzeln in Arbeiten von Andrea Brandt und Achi Brandt und finden Anwendung in Simulationen für NASA, European Space Agency und industrielle Partner.

Nichtlineare Gleichungen und Optimierung

Die Theorie und Algorithmen zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und zur Optimierung sind beeinflusst durch Forscher wie John von Neumann, Kurt Gödel, David Hilbert, Harold Kuhn und Leonid Kantorovich sowie durch moderne Beiträge von Yurii Nesterov, Stephen Boyd und Michael J. D. Powell. Methoden wie Newton-Verfahren, quasi-Newton-Verfahren, Gradienten- und Konjugierte-Gradienten-Verfahren werden in der Praxis in Verbindung mit Forschungsgruppe an Bell Labs, Google Research und Microsoft Research eingesetzt. Probleme der konvexen sowie nichtkonvexen Optimierung spielen zentrale Rollen in Anwendungen bei Firmen wie IBM, Siemens und Tesla, Inc..

Fehleranalyse und Stabilität

Fehlerabschätzungen, Rundungsfehleranalyse und Stabilitätsbegriffe wurden formalisiert durch Arbeiten von James H. Wilkinson, Alan Turing, Andrey Kolmogorov und Peter Lax. Konditionstheorie und Sensitivitätsanalyse sind eng mit Beiträgen von G. H. Golub, Charles Van Loan und Nicholas Higham verbunden. Numerische Stabilität von Zeitintegratoren und Diskretisierungen wird in Kontexten wie Wettervorhersage bei European Centre for Medium-Range Weather Forecasts, Klimamodellen an der National Oceanic and Atmospheric Administration und strukturdynamischen Simulationen für Boeing und Airbus kritisch bewertet.

Anwendungen und Softwarebibliotheken

Numerische Mathematik manifestiert sich in umfassenden Softwarebibliotheken und Projekten wie LAPACK, BLAS, PETSc, Trilinos und SciPy, entwickelt in Zusammenarbeit mit Universitäten und Forschungszentren wie University of Tennessee, Argonne National Laboratory und Lawrence Livermore National Laboratory. Anwendungen reichen von Computational Fluid Dynamics in General Electric und Siemens über Finite-Elemente in der Schlumberger-Software bis zu Optimierungs-Engines in Goldman Sachs und Amazon Web Services. Auszeichnungen und Konferenzen wie der Turing Award, der Abel Prize und Veranstaltungen der SIAM fördern den Austausch zwischen theoretischen Forschern und Industriepraktikern.

Category:Numerische Analysis